Liczby Pierwsze i cyfry, a Boska Proporcja. Związek, rezonans Liczb Pierwszych ze Złotą Liczbą Phi.
Czy to możliwe aby w XXI wieku dokonać jakiegoś nowego odkrycia dotyczącego liczb pierwszych bawiąc się w programowanie na domowym komputerze?
Wydaje mi się, że właśnie tego dokonałem około 2018 AD będąc jeszcze w Irlandii w miejscowości Ballina / Killaloe.
Killaloe to specyficzne miejsce, ważne historycznie, bo tutaj była osada broniąca przeprawy przez rzekę Shannon, założona przez pierwszego pamiętanego króla Irlandii Briana Boru.
Będąc tam pracowałem jeszcze w lokalnej drukarni u producenta opakowań Bensonbox Ireland Ltd. www.bensonbox.eu.
Ale nawet wtedy czułem pasję do programowania komputerów i spędzałem dużo czasu bawiąc się składnią języków Pascal, Delphi, C, C++ czy Java. Później zacząłem dopiero jako web deweloper i języki jak HTML5, Javascript oraz backendowy PHP zacząłem używać częściej.
Jednakże najbardziej lubię wracać do języka C i tutaj jeśli chodzi o temat artykułu to popełniłem prostą aplikację, rysującą na początku Spiralę Fibonacciego, czy też „Złotą Spiralę” ale za pomocą algorytmu bazującego na rysowaniu ćwiartek okręgu z użyciem liczby Pi zadając kąt 90 stopni do wyrysowania piksel po pikselu. Wykonuje to polecenie arc() biblioteki Allegro.
Zatem robiąc to ćwiczenie już tutaj widać fajny związek tych dwóch liczb niewymiernych Pi = 3.1415… i Phi = 1.6180… . Czy to jakaś zasada świętej geometrii? Hmm… pewnie tak. Lecz jedyne co mi przychodzi na myśl to łamanie średnicy według zasady złotego podziału. Ale to chyba nie to w tym przypadku. Nie wiem.
Spiralę chciałem wyrysować planując już wcześniej, że umieszczę na niej Liczby Pierwsze i zobaczę jak będą się rozchodziły na tej krzywej zawiniętej według Złotego Podziału.
Znudziły mi sie bowiem dystrybucje Liczb Pierwszych omawiane na słynnej Spirali Ulama, naszego wybitnego matematyka XX wieku, który brał m.in udział w Projekcie Manhattan.
Na kwadratowej Spirali Ulama właśnie rozmieszczałem Liczby Pierwsze z początku i przyświeciła mi myśl, czemu tego nie zrobić na innej spirali.
Z początku badając ten słynny zbiór chciałem rozmieścić liczb pierwsze na spirali pentagonalnej (pięciokątnej znaczy) ponieważ, pentagon i pentagram wykazują ścisły związek z Boską Proporcją i Złota liczba Phi.
Jednakże wygenerowałem proceduralnie w tym kierunku jedynie prosty rysunek za pomocą biblioteki multimedialnej do obsługi klawiatury, myszki i grafiki o nazwie Allegro 4.2 by Shawn Hargreaves.
Na tej pięciokątnej spirali liczby zostały dystrybuowane jedynie na narożnikach. Jednakże otworzyło mi to oczy, że w tym z pozoru chaotycznie wyglądającym zbiorze liczby stoją jakby w 4 szeregach licząc dziesiątkami i w każdym z nich mają tę samą końcówkę, tę samą cyfrę. Wyjątkiem są tylko liczby 2 i 5.
A pozostałe nieparzyste w szeregu za 1,3,7,9 to te 4 szeregi z każdej dziesiątki, którymi kończą się wartości liczb pierwszych w danej dziesiątce. Oczywiście liczby pierwsze nie wypadają zawsze po 4 w każdej kolejnej dziesiątce. Ale może to ktoś sprawdzi dokładniej jaka tu jest zależność. 🙂
Zaprogramowałem w tym kierunku jedynie prostą procedurę o nazwie PTO1379 aka PTOQR… czyli Primes To Quadruple Rows. Jest to apka działająca w trybie tekstowym. Jest dostępna w repozytorium na GitHub – link poniżej. Natomiast grafikę spirali pentagonalnej wygenerowałem inną procedurą.
Oto ta grafika: „Spirala Pentagonalna”.
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spirala_pentagonalna_liczb_pierwszych.png
Zadanie na przyszłość: Trzeba spróbować dystrybucji liczb pierwszych na spirali pentagonalnej ale rozmieścić je wzdłuż krawędzi, a nie na rogach. Important TO DO!!!
Idąc dalej rozmieściłem wreszcie Liczby Pierwsze na Złotej Spirali i zacząłęm się tej dystrybucji przyglądać dokładniej.
Znalazłem wydaje mi się nieznaną dotąd zależność gdzie liczby z tego zbioru jakby rezonują z kolejnymi wartościami ciągu Fibonacciego. Podobnie rezonują liczby Złożone ale jakby odwrotnie.
Ten rezonans, który jest rodzajem pewnego współczynnika zależnego od Złotej Liczby to dokładnie średnia arytmetyczna podzbioru Liczb Pierwszych lub Liczb Złożonych zawartego pomiędzy kolejnymi wartościami Złotego Ciągu. Trzeba tu zauważyć, że niektóre liczby pierwsze są także liczbami Fibonacciego i wtedy zbiór taki zawiera z górnej granicy taką liczbę zwaną z angielskiego FIBONACCI PRIME.
Zależność w sprawie tego rezonansu, inaczej ujmując pewnej synchronizacji w dystrybucji liczb pierwszych brzmi:
Średnia arytmetyczna każdego podzbioru liczb pierwszych znajdujących się pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu
Fibonacciego, podzielona przez górną granicę podzbioru, który jest większą liczbą Fibonacciego, daje w przybliżeniu połowę złotej liczby Phi i jest od niej nieznacznie niższa, natomiast w przypadku liczb złożonych jest nieznacznie wyższa.
Tak jakby średnia arytmetyczna w tych dwóch podzbiorach rezonuje z liczbą Phi jej nie osiągając ale jakby tańcząc albo po lewej, albo po prawej stronie tej uniwersalnej stałej matematycznej wyrażonej za pomocą liczby niewymiernej systemu dziesiętnego o wartości: Phi = 1.618033…
Stworzyłem właściwie dwie aplikacje, aby znaleźć i potwierdzić tę zależność. Jedna działa w trybie graficznym i pokazuje rozkład liczb pierwszych na spirali Fibonacciego, a druga działa tylko w trybie tekstowym.
Zrzuty ekranu z aplikacji ze spiralą Fibonacciego i Liczbami Pierwszymi w trybie graficznym 1600x900px chyba. Zobaczcie rysunki wygenerowane w Allegro 4.2.
Info: Czerwone punkty i białe liczby to Liczby Pierwsze. Czerwone punkty bez liczb to środki ćwiartki.
Wyniki z aplikacji w trybie tekstowym.
Niektóre wyniki z mojej aplikacji konsolowej: (Połowa Phi została podwojona dla lepszego porównania)
THAT APP IS CALCULATING THE PRIME NUMBERS SUBSETS BETWEEN
FIBONACCI AND FINDING APPROXIMATION____ TO THE GOLDEN
NUMBER_PHI.___________ Author: Sylwester B aka
Sylvi91_______________
…
Fib(13) = 233 – Fib(14) = 377 Primes list: 239 241 251 257 263 269
271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367
373 Primes: Sum = 6989 Qty = 23 Avg = 303 Approximation to the The
Golden Number Phi = 1.607427
Fib(14) = 377 – Fib(15) = 610 Primes list: 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607
Primes: Sum = 18165 Qty = 37 Avg = 490 Approximation to the The
Golden Number Phi = 1.606557
Fib(15) = 610 – Fib(16) = 987 Primes: Sum = 43635 Qty = 55 Avg =
793 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.606890
Fib(16) = 987 – Fib(17) = 1597 Primes: Sum = 109567 Qty = 85 Avg =
1289 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.614277Fib(19) = 4181 – Fib(20) = 6765 Primes: Sum = 1624217 Qty = 297
Avg = 5468 Approximation to the The Golden Number Phi = 1.616556
…
Fib(27) = 196418 – Fib(28) = 317811 Primes: Sum = 2499980948 Qty =
9738 Avg = 256724 Approximation to the The Golden Number Phi =
1.615577
and without listing of primes.
Fib(30) = 832040 – Fib(31) = 1346269 SUM = 40227359343 QTY = 36981
AVG = 1087784 Approx. to Phi = 1.6159979915
Fib(31) = 1346269 – Fib(32) = 2178309 SUM = 101931466309 QTY =
57909 AVG = 1760200 Approx. to Phi = 1.6161159872
Fib(32) = 2178309 – Fib(33) = 3524578 SUM = 257870996074 QTY =
90550 AVG = 2847829 Approx. to Phi = 1.6159829631
Fib(33) = 3524578 – Fib(34) = 5702887 SUM = 654441400687 QTY =
142033 AVG = 4607671 Approx. to Phi = 1.6159082233
Fib(34) = 5702887 – Fib(35) = 9227465 SUM = 1661677489343 QTY =
222855 AVG = 7456316 Approx. to Phi = 1.6161136347
Fib(35) = 9227465 – Fib(36) = 14930352 SUM = 4221069024488 QTY =
349862 AVG = 12064954 Approx. to Phi = 1.6161647093
Fib(36) = 14930352 – Fib(37) = 24157817 SUM = 10735109882717 QTY =
549903 AVG = 19521824 Approx. to Phi = 1.6161910656
Fib(37) = 24157817 – Fib(38) = 39088169 SUM = 27324559743219 QTY =
865019 AVG = 31588392 Approx. to Phi = 1.6162635809
Fib(38) = 39088169 – Fib(39) = 63245986 SUM = 69592739215201 QTY =
1361581 AVG = 51111714 Approx. to Phi = 1.6162832531
Fib(39) = 63245986 – Fib(40) = 102334155 SUM = 177416424882449 QTY
= 2145191 AVG = 82704255 Approx. to Phi = 1.6163568263
Fib(40) = 102334155 – Fib(41) = 165580141 SUM = 452491851513992
QTY = 3381318 AVG = 133821146 Approx. to Phi = 1.6163912555
Fib(41) = 165580141 – Fib(42) = 267914296 SUM = 1155101203883449
QTY = 5334509 AVG = 216533743 Approx. to Phi = 1.6164403784
Fib(42) = 267914296 – Fib(43) = 433494437 SUM = 2949939781199270
QTY = 8419528 AVG = 350368783 Approx. to Phi = 1.6164857174
Fib(43) = 433494437 – Fib(44) = 701408733 SUM = 7539299522749130
QTY = 13298630 AVG = 566923023 Approx. to Phi = 1.6165268447
Fib(44) = 701408733 – Fib(45) = 1134903170 SUM = 19277443065477372
QTY = 21014892 AVG = 917322966 Approx. to Phi = 1.6165660477
Fib(45) = 1134903170 – Fib(46) = 1836311903 SUM =
49319944945730044 QTY = 33227992 AVG = 1484289058 Approx. to Phi =
1.6165979816
Fib(46) = 1836311903 – Fib(47) = 2971215073 SUM =
126244882484469729 QTY = 52565409 AVG = 2401672219 Approx. to Phi
= 1.6166263027Fib(47) = 2971215073 – Fib(48) = 4807526976 SUM =
323315442948007805 QTY = 83198799 AVG = 3886059015 Approx. to Phi
= 1.6166561454
Fib(48) = 4807526976 – Fib(49) = 7778742049 SUM =
828390738449096336 QTY = 131744274 AVG = 6287869015 Approx. to Phi
= 1.6166801715
Fib(49) = 7778742049 – Fib(50) = 12586269025 SUM =
2123542722014291259 QTY = 208718785 AVG = 10174181121 Approx. to
Phi = 1.6167112114
Fib(50) = 12586269025 – Fib(51) = 20365011074 SUM =
5445740631692717113 QTY = 330797447 AVG = 16462462697 Approx. to
Phi = 1.6167398718
Fib(51) = 20365011074 – Fib(52) = 32951280099 SUM =
13971588279376661576 QTY = 524513152 AVG = 26637250612 Approx. to
Phi = 1.6167657543
Fib(52) = 32951280099 – Fib(53) = 53316291173 SUM =
35859516892843327174 QTY = 831993816 AVG = 43100701235 Approx. to
Phi = 1.6167929271
Fib(53) = 53316291173 – Fib(54) = 86267571272 SUM =
92072211900316816991 QTY = 1320232935 AVG = 69739369060 Approx. to
Phi = 1.6168154043
Your calculations took 918.00 seconds to run. 64.5 % from 8GB
memory usage.
W obu aplikacjach zaimplementowałem Sito Eratostenesa do znajdowania liczb pierwszych oraz
funkcję iteracyjną do obliczania liczb Fibonacciego. Używając tej metody, pozwoliłem sobie
obliczyć podzbiór liczb pierwszych do Fib(54) = 86 267 571 272. Teraz jednak napotykam dwa problemy.
Po pierwsze, osiągnąłem limit pamięci mojego komputera domowego [8 GB], ponieważ Sito Eratostenesa zużywa pamięć. Po drugie, osiągnąłem limit zmiennych 64-bitowych w standardowym C. Chociaż limit zmiennych można obejść, korzystając z zewnętrznej biblioteki dla dużych liczb, limit pamięci nie pozwala na znaczny postęp w obliczeniach.
Wzór matematyczny. Formuła wskazująca ciekawą zależność.
Dla liczb pierwszych:
½ Φ<=((p1+p2+…+px)/x)/F(n)
Dla liczb złożonych:
½ Φ>=((c1+c2+…+cx)/x)/F(n)
Gdzie:
F(n − 1)<(p1,p2,…,px)≤F(n) i F(n − 1)<(c1,c2,…,cx)≤F(n)
p1,p2,px – Liczby pierwsze
(p1+p2+px) – Suma liczb pierwszych w podzbiorzec1,c2,cx – Liczby złożona
(c1+c2+cx) – Suma liczb złożonych w podzbiorze
F(n − 1) – Mniejsza wartość ciągu Fibonacciego (dolna granica podzbioru liczb pierwszych)
F(n) – Większa wartość ciągu Fibonacciego (górna granica podzbioru liczb pierwszych)
x – Ilość liczb pierwszych w podzbiorze (ostatnia liczba pierwsza w podzbiorze)
Φ – Złota liczba Fi(eng. Phi) = 1,618033988749895…
Sprawdziłem również różne wyniki i dodałem inne liczby naturalne do sumy podzbioru liczb pierwszych
i po podzieleniu przez większą liczbę Fibonacciego jako granicę podzbioru, wynik był
podobny. Ale czy na pewno?
Spójrzcie na te przykłady:
Wezmę do sprawdzenia mały podzbiór.
Fib(13) = 233 – Fib(14) = 377 Lista liczb pierwszych: 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 Liczby pierwsze: Suma = 6989 Ilość = 23 Średnia = 303 Przybliżenie do Złotej Liczby Fi = 1,607427
Dodajmy liczbę 300 spośród następujących liczb Fibonacciego, która zdecydowanie nie jest liczbą pierwszą, do sumy 6989 + 300 = 7289, a następnie obliczmy średnią, dzieląc ją przez ilość liczb w podzbiorze, która wynosi 24, i otrzymamy AVG = 303,708333333 i na koniec podziel to przez
większy ciąg Fibonacciego 303,708333333/377 = 0,805592396, a następnie pomnóż przez 2, aby uzyskać Phi, które w tym przypadku wyniesie około 1,611184792. Zdecydowanie blisko Phi, ale nawet bliżej niż podzbiór liczb pierwszych 1,607427 < 1,611184792.
Jak widać, podzbiór kilku liczb nie tylko pierwszych (w tym przykładzie wszystkie liczby pierwsze
od 233 do 377 plus liczba 300) również daje podobny wynik. Być może dlatego, że dodałem tylko jedną
liczbę.
Inny przykład:
Dodajmy 234 do tego podzbioru liczb pierwszych. 6989 + 334 = 7323 i podzielmy przez liczbę liczb w podzbiorze.
7323 / 24 = 305 125. Podzielenie przez 377 daje 0,809350133 i ostatecznie 1,618700265. Wyższe
niż Phi.
Trzeci przykład: Tym razem dodaję dwie liczby naturalne 6989 + 334 + 336 = 7659 i dzielę przez 25, co daje średnią 306,36, co daje 0,812625995 i ostatecznie 1,625251989. Wyższe niż Phi.
Czwarty przykład: Tym razem dodaję trzy liczby naturalne 6989+334+336+376 = 8035 i dzielę
przez 26, co daje 309,038461538, co daje 0,819730667 i ostatecznie 1,639461334. Jeszcze więcej niż Phi.
Piąty przykład: Tym razem dodaję 6 liczb naturalnych 6989+334+336+370+372+374+376 = 9151
i dzielę przez 29, co daje 315,551724138, co daje 0,837007226 i ostatecznie 1,674014452. Jeszcze więcej niż Phi, a nawet gorzej po dodaniu większej liczby liczb.
Mam nadzieję, że ten przykład zadziała w przypadku innych podzbiorów w ten sam sposób.
Czy ma znaczenie, że cała średnia podzbioru liczb pierwszych podzielona przez większą liczbę Fibonacciego nigdy nie przekracza rzeczywistej wartości Phi? Jak widać na liście w mojej aplikacji, z każdym krokiem wartość ta zbliża się do wartości Phi od dołu.
Natomiast dla liczb złożonych ta wartość zbliża się do Phi od góry.
Jeszcze kilka przykładowych wyników. C oznacza złożone (Composites), a P liczby pierwsze (Primes).
Fib(10) = 55 – Fib(11) = 89 SUM P = 582 QTY P = 8 AVG P = 72.00 Phi P = 1.617978
Fib(10) = 55 – Fib(11) = 89 SUM C = 1883 QTY C = 26 AVG C = 72.00 Phi C = 1.617978
Phi P = 1.617978 < Phi
Phi C = 1.617978 < Phi
Fib(11) = 89 – Fib(12) = 144 SUM P = 1164 QTY P = 10 AVG P = 116.00 Phi P = 1.611111
Fib(11) = 89 – Fib(12) = 144 SUM C = 5271 QTY C = 45 AVG C = 117.00 Phi C = 1.625000
Phi P = 1.611111 < Phi Phi C = 1.625000 > Phi
Fib(12) = 144 – Fib(13) = 233 SUM P = 3223 QTY P = 17 AVG P = 189.00 Phi P = 1.622318
Fib(12) = 144 – Fib(13) = 233 SUM C = 13598 QTY C = 72 AVG C = 188.00 Phi C = 1.613734
Phi P = 1.622318 > Phi
Phi C = 1.613734 < Phi
Fib(13) = 233 – Fib(14) = 377 SUM P = 6989 QTY P = 23 AVG P = 303.00 Phi P = 1.607427
Fib(13) = 233 – Fib(14) = 377 SUM C = 37003 QTY C = 121 AVG C = 305.00 Phi C = 1.618037
Phi P = 1.607427 < Phi Phi C = 1.618037 > Phi
Fib(14) = 377 – Fib(15) = 610 SUM P = 18165 QTY P = 37 AVG P = 490.00 Phi P = 1.606557
Fib(14) = 377 – Fib(15) = 610 SUM C = 96937 QTY C = 196 AVG C = 494.00 Phi C = 1.619672
Phi P = 1.606557 < Phi Phi C = 1.619672 > Phi
Fib(15) = 610 – Fib(16) = 987 SUM P = 43635 QTY P = 55 AVG P = 793.00 Phi P = 1.606890
Fib(15) = 610 – Fib(16) = 987 SUM C = 257588 QTY C = 322 AVG C = 799.00 Phi C = 1.619048
Phi P = 1.606890 < Phi Phi C = 1.619048 > Phi
Fib(16) = 987 – Fib(17) = 1597 SUM P = 109567 QTY P = 85 AVG P = 1289.00 Phi P = 1.614277
Fib(16) = 987 – Fib(17) = 1597 SUM C = 678858 QTY C = 525 AVG C = 1293.00 Phi C = 1.619286
Phi P = 1.614277 < Phi Phi C = 1.619286 > Phi
Fib(17) = 1597 – Fib(18) = 2584 SUM P = 259979 QTY P = 125 AVG P = 2079.00 Phi P = 1.609133
Fib(17) = 1597 – Fib(18) = 2584 SUM C = 1803838 QTY C = 862 AVG C = 2092.00 Phi C = 1.619195
Phi P = 1.609133 < Phi Phi C = 1.619195 > Phi
Fib(18) = 2584 – Fib(19) = 4181 SUM P = 667790 QTY P = 198 AVG P = 3372.00 Phi P = 1.613011
Fib(18) = 2584 – Fib(19) = 4181 SUM C = 4734861 QTY C = 1399 AVG C = 3384.00 Phi C = 1.618751
Phi P = 1.613011 < Phi Phi C = 1.618751 > Phi
Fib(19) = 4181 – Fib(20) = 6765 SUM P = 1624217 QTY P = 297 AVG P = 5468.00 Phi P = 1.616556
Fib(19) = 4181 – Fib(20) = 6765 SUM C = 12519307 QTY C = 2287 AVG C = 5474.00 Phi C = 1.618330
Phi P = 1.616556 < Phi Phi C = 1.618330 > Phi
Fib(20) = 6765 – Fib(21) = 10946 SUM P = 4047056 QTY P = 458 AVG P = 8836.00 Phi P = 1.614471
Fib(20) = 6765 – Fib(21) = 10946 SUM C = 32979880 QTY C = 3723 AVG C = 8858.00 Phi C = 1.618491
Phi P = 1.614471 < Phi Phi C = 1.618491 > Phi
Fib(21) = 10946 – Fib(22) = 17711 SUM P = 10070738 QTY P = 704 AVG P = 14305.00 Phi P = 1.615380
Fib(21) = 10946 – Fib(22) = 17711 SUM C = 86864947 QTY C = 6061 AVG C = 14331.00 Phi C = 1.618316
Phi P = 1.615380 < Phi Phi C = 1.618316 > Phi
Fib(22) = 17711 – Fib(23) = 28657 SUM P = 25189072 QTY P = 1088 AVG P = 23151.00 Phi P = 1.615731
Fib(22) = 17711 – Fib(23) = 28657 SUM C = 228588465 QTY C = 9858 AVG C = 23188.00 Phi C = 1.618313
Phi P = 1.615731 < Phi Phi C = 1.618313 > Phi
Fib(23) = 28657 – Fib(24) = 46368 SUM P = 62628735 QTY P = 1673 AVG P = 37434.00 Phi P = 1.614648
Fib(23) = 28657 – Fib(24) = 46368 SUM C = 601764008 QTY C = 16038 AVG C = 37521.00 Phi C = 1.618401
Phi P = 1.614648 < Phi Phi C = 1.618401 > Phi
Fib(24) = 46368 – Fib(25) = 75025 SUM P = 157627850 QTY P = 2602 AVG P = 60579.00 Phi P = 1.614902
Fib(24) = 46368 – Fib(25) = 75025 SUM C = 1581766079 QTY C = 26055 AVG C = 60708.00 Phi C = 1.618341
Phi P = 1.614902 < Phi Phi C = 1.618341 > Phi
Fib(25) = 75025 – Fib(26) = 121393 SUM P = 395031813 QTY P = 4029 AVG P = 98047.00 Phi P = 1.615365
Fib(25) = 75025 – Fib(26) = 121393 SUM C = 4158746283 QTY C = 42339 AVG C = 98224.00 Phi C = 1.618281
Phi P = 1.615365 < Phi Phi C = 1.618281 > Phi
Fib(26) = 121393 – Fib(27) = 196418 SUM P = 993603937 QTY P = 6263 AVG P = 158646.00 Phi P = 1.615392
Fib(26) = 121393 – Fib(27) = 196418 SUM C = 10928318713 QTY C = 68762 AVG C = 158929.00 Phi C = 1.618273
Phi P = 1.615392 < Phi Phi C = 1.618273 > Phi
Fib(27) = 196418 – Fib(28) = 317811 SUM P = 2499980948 QTY P = 9738 AVG P = 256724.00 Phi P = 1.615577
Fib(27) = 196418 – Fib(28) = 317811 SUM C = 28711980247 QTY C = 111655 AVG C = 257149.00 Phi C = 1.618251
Phi P = 1.615577 < Phi Phi C = 1.618251 > Phi
Fib(28) = 317811 – Fib(29) = 514229 SUM P = 6308496827 QTY P = 15187 AVG P = 415387.00 Phi P = 1.615572
Fib(28) = 317811 – Fib(29) = 514229 SUM C = 75405417742 QTY C = 181231 AVG C = 416073.00 Phi C = 1.618240
Phi P = 1.615572 < Phi Phi C = 1.618240 > Phi
Fib(29) = 514229 – Fib(30) = 832040 SUM P = 15937072700 QTY P = 23704 AVG P = 672336.00 Phi P = 1.616115
Fib(29) = 514229 – Fib(30) = 832040 SUM C = 197992634785 QTY C = 294107 AVG C = 673199.00 Phi C = 1.618189
Phi P = 1.616115 < Phi Phi C = 1.618189 > Phi
Fib(30) = 832040 – Fib(31) = 1346269 SUM P = 40227359343 QTY P = 36981 AVG P = 1087784.00 Phi P = 1.615998
Fib(30) = 832040 – Fib(31) = 1346269 SUM C = 519847727152 QTY C = 477248 AVG C = 1089261.00 Phi C = 1.618192
Phi P = 1.615998 < Phi Phi C = 1.618192 > Phi
Fib(31) = 1346269 – Fib(32) = 2178309 SUM P = 101931466309 QTY P = 57909 AVG P = 1760200.00 Phi P = 1.616116
Fib(31) = 1346269 – Fib(32) = 2178309 SUM C = 1364363889271 QTY C = 774131 AVG C = 1762445.00 Phi C = 1.618177
Phi P = 1.616116 < Phi Phi C = 1.618177 > Phi
Fib(32) = 2178309 – Fib(33) = 3524578 SUM P = 257870996074 QTY P = 90550 AVG P = 2847829.00 Phi P = 1.615983
Fib(32) = 2178309 – Fib(33) = 3524578 SUM C = 3580939666362 QTY C = 1255719 AVG C = 2851704.00 Phi C = 1.618182
Phi P = 1.615983 < Phi Phi C = 1.618182 > Phi
Fib(33) = 3524578 – Fib(34) = 5702887 SUM P = 654441400687 QTY P = 142033 AVG P = 4607671.00 Phi P = 1.615908
Fib(33) = 3524578 – Fib(34) = 5702887 SUM C = 9395694716810 QTY C = 2036276 AVG C = 4614155.00 Phi C = 1.618182
Phi P = 1.615908 < Phi Phi C = 1.618182 > Phi
Fib(34) = 5702887 – Fib(35) = 9227465 SUM P = 1661677489343 QTY P = 222855 AVG P = 7456316.00 Phi P = 1.616114
Fib(34) = 5702887 – Fib(35) = 9227465 SUM C = 24649919368674 QTY C = 3301723 AVG C = 7465774.00 Phi C = 1.618164
Phi P = 1.616114 < Phi Phi C = 1.618164 > Phi
Fib(35) = 9227465 – Fib(36) = 14930352 SUM P = 4221069024488 QTY P = 349862 AVG P = 12064954.00 Phi P = 1.616165
Fib(35) = 9227465 – Fib(36) = 14930352 SUM C = 64663584085795 QTY C = 5353025 AVG C = 12079821.00 Phi C = 1.618156
Phi P = 1.616165 < Phi Phi C = 1.618156 > Phi
Fib(36) = 14930352 – Fib(37) = 24157817 SUM P = 10735109882717 QTY P = 549903 AVG P = 19521824.00 Phi P = 1.616191
Fib(36) = 14930352 – Fib(37) = 24157817 SUM C = 169607250411808 QTY C = 8677562 AVG C = 19545495.00 Phi C = 1.618151
Phi P = 1.616191 < Phi Phi C = 1.618151 > Phi
Fib(37) = 24157817 – Fib(38) = 39088169 SUM P = 27324559743219 QTY P = 865019 AVG P = 31588392.00 Phi P = 1.616264
Fib(37) = 24157817 – Fib(38) = 39088169 SUM C = 444817864505493 QTY C = 14065333 AVG C = 31625121.00 Phi C = 1.618143
Phi P = 1.616264 < Phi Phi C = 1.618143 > Phi
Fib(38) = 39088169 – Fib(39) = 63245986 SUM P = 69592739215201 QTY P = 1361581 AVG P = 51111714.00 Phi P = 1.616283
Fib(38) = 39088169 – Fib(39) = 63245986 SUM C = 1166492167533525 QTY C = 22796236 AVG C = 51170384.00 Phi C = 1.618139
Phi P = 1.616283 < Phi Phi C = 1.618139 > Phi
Fib(39) = 63245986 – Fib(40) = 102334155 SUM P = 177416424882449 QTY P = 2145191 AVG P = 82704255.00 Phi P = 1.616357
Fib(39) = 63245986 – Fib(40) = 102334155 SUM C = 3058695861887550 QTY C = 36942978 AVG C = 82795054.00 Phi C = 1.618131
Phi P = 1.616357 < Phi Phi C = 1.618131 > Phi
Fib(40) = 102334155 – Fib(41) = 165580141 SUM P = 452491851513992 QTY P = 3381318 AVG P = 133821146.00 Phi P = 1.616391
Fib(40) = 102334155 – Fib(41) = 165580141 SUM C = 8019760087116929 QTY C = 59864668 AVG C = 133964830.00 Phi C = 1.618127
Phi P = 1.616391 < Phi Phi C = 1.618127 > Phi
Fib(41) = 165580141 – Fib(42) = 267914296 SUM P = 1155101203883449 QTY P = 5334509 AVG P = 216533743.00 Phi P = 1.616440
Fib(41) = 165580141 – Fib(42) = 267914296 SUM C = 21025542301081496 QTY C = 96999646 AVG C = 216758959.00 Phi C = 1.618122
Phi P = 1.616440 < Phi Phi C = 1.618122 > Phi
Fib(42) = 267914296 – Fib(43) = 433494437 SUM P = 2949939781199270 QTY P = 8419528 AVG P = 350368783.00 Phi P = 1.616486
Fib(42) = 267914296 – Fib(43) = 433494437 SUM C = 55119738755976477 QTY C = 157160613 AVG C = 350722345.00 Phi C = 1.618117
Phi P = 1.616486 < Phi Phi C = 1.618117 > Phi
Fib(43) = 433494437 – Fib(44) = 701408733 SUM P = 7539299522749130 QTY P = 13298630 AVG P = 566923023.00 Phi P = 1.616527
Fib(43) = 433494437 – Fib(44) = 701408733 SUM C = 144489092520567178 QTY C = 254615666 AVG C = 567479192.00 Phi C = 1.618113
Phi P = 1.616527 < Phi Phi C = 1.618113 > Phi
Fib(44) = 701408733 – Fib(45) = 1134903170 SUM P = 19277443065477372 QTY P = 21014892 AVG P = 917322966.00 Phi P = 1.616566
Fib(44) = 701408733 – Fib(45) = 1134903170 SUM C = 378738054424961652 QTY C = 412479545 AVG C = 918198390.00 Phi C = 1.618109
Phi P = 1.616566 < Phi Phi C = 1.618109 > Phi
Fib(45) = 1134903170 – Fib(46) = 1836311903 SUM P = 49319944945730044 QTY P = 33227992 AVG P = 1484289058.00 Phi P = 1.616598
Fib(45) = 1134903170 – Fib(46) = 1836311903 SUM C = 992698155316690577 QTY C = 668180741 AVG C = 1485673103.00 Phi C = 1.618105
Phi P = 1.616598 < Phi Phi C = 1.618105 > Phi
Your calculations took 34.00 seconds to run.
Zmontowałem wideo które prezentuje to zagadnienie: (wersja po angielsku)
PRIME NUMBERS AND COMPOSITE NUMBERS IN RELATION TO THE GOLDEN NUMBER PHI. CONSOLE AND GRAPHIC MODE… APPS.
No dobrze, a gdzie stała Eulera = 0.5772156649… ? Albo ,gdzie liczba Eulera = 2.718281828459… ?
Hmm.. Nie obliczyłem tego ze 100% pewnością poprawności wyniku, ale… No właśnie … ale… No nie ma ich tu. Ja nie znalazłem.
Natomiast gdy tę samą średnią artymetyczną podzielimy przez dolną granicę zbioru, czyli F(n-1) to otrzymamy w przybliżeniu wartość oscylującą około 1.30… – 1.31…
Mnożąc ją przez dwa otrzymamy Phi + 1 = 2.618033…
Wynik z całkiem małego zakresu liczb jednak przy zastosowaniu Sita już jednak wymagający dla domowego komputera :
Fib(43) = 433494437 - Fib(44) = 701408733 SUM P = 7539299522749130 QTY P = 13298630 AVG P = 566923023.00 Phi P = 1.616527 Phi+1 P = 2.615595
Fib(43) = 433494437 - Fib(44) = 701408733 SUM C = 144489092520567178 QTY C = 254615666 AVG C = 567479192.00 Phi C = 1.618113 Phi+1 C = 2.618161
Phi P = 1.616527 < Phi
Phi C = 1.618113 > Phi
phi P = 2.615595 < Phi+1
phi C = 2.618161 > Phi+1
Fib(44) = 701408733 - Fib(45) = 1134903170 SUM P = 19277443065477372 QTY P = 21014892 AVG P = 917322966.00 Phi P = 1.616566 Phi+1 P = 2.615659
Fib(44) = 701408733 - Fib(45) = 1134903170 SUM C = 378738054424961652 QTY C = 412479545 AVG C = 918198390.00 Phi C = 1.618109 Phi+1 C = 2.618155
Phi P = 1.616566 < Phi
Phi C = 1.618109 > Phi
phi P = 2.615659 < Phi+1
phi C = 2.618155 > Phi+1
Fib(45) = 1134903170 - Fib(46) = 1836311903 SUM P = 49319944945730044 QTY P = 33227992 AVG P = 1484289058.00 Phi P = 1.616598 Phi+1 P = 2.615710
Fib(45) = 1134903170 - Fib(46) = 1836311903 SUM C = 992698155316690577 QTY C = 668180741 AVG C = 1485673103.00 Phi C = 1.618105 Phi+1 C = 2.618150
Phi P = 1.616598 < Phi
Phi C = 1.618105 > Phi
phi P = 2.615710 < Phi+1
phi C = 2.618150 > Phi+1Znaczenie skrótów:
Fib(45) – czterdziesty piąty wyraz ciągu Fibonacciego.
SUM P – suma liczb pierwszych w tym podzbiorze pomiędzy kolejnymi wartościami ciągu Fibonacciego.
QTY P – ilość liczb pierwszych w podzbiorze j/w.
AVG P – średnia arytmetyczna liczb pierwszych
Phi P – przybliżenie średniej liczb pierwszych dzielonej przez górną granicę zbioru.
Phi P+1 – przybliżenie średniej liczb pierwszych dzielonej przez dolną granicę zbioru.
Dla liczb złożonych zamiast P jest wszędzie litera C. (Composite).
Mam nadzieję, że to kogoś zainteresuje. Więcej informacji w tym wątku na forum matematycznym:
Średnia arytmetyczna podzbiorów liczb pierwszych. Metoda, która liczy zbieżność do
złotej liczby Phi.
To jest niejako nowa hipoteza, niby została potwierdzona wstępnymi obliczeniami ale jeszcze nie nazbyt zaawansowanymi. Jeśli ktoś jest zainteresowany głębszymi badaniami to zachęcam.
Moja publikacja po angielsku:
„Arithmetic mean of subsets of prime numbers. A method that counts the convergence to the golden number Phi” jest dostępna na stronie domowej lub w serwisie Researchgate.net.
Kody źródłowe aplikacji w języku C o nazwie:
POFSpiral – Primes On Fibonacci Spiral (aplikacja korzysta z biblioteki multimedialnej Allegro 4.4 i działa w trybie graficznym 1920x1080px HD.)
PACS – Primes And Composites Subsets (aplikacja działa w trybie tekstowym)
… są dostępne w repozytorium ComputePrimes na GitHub.
https://github.com/SylwesterBogusiak/ComputePrimes
Kontakt do mnie i publikacje oraz inne wyniki badań z zakresu teorii liczb znajdziecie na stronie www.bogusiak.pl
Dziękuję.